Текст бизнес-книги "Социальный метаболизм. Полилогический матричный анализ «обменных процессов» и стоимости"

Автор книги: Александр Харчевников

Раздел: О бизнесе популярно, Бизнес-книги

1.3. Трёхмерная балансовая матрица «производство – потребление»

Напомним, что это задача «обмена (обращения)» в условном примере общества, где воспроизводственный процесс действительной жизни ограничен производством трёх продуктов q = 3 с индексами j = 1, 2, 3 и тремя агентами, одновременно выступающими в роли трёх агентов-производителей m = 3 с индексами i = 1, 2, 3 и в роли трёх агентов-потребителей n = 3 с индексами k = 1, 2, 3. Обозначим переменное количество продукта (элемент матрицы, переменная) в каждой ячейке соответствующей трёхмерной матрицы «обмена» через x_ijk.

Наконец, действительными числами f_ij обозначим заданное количество производства продуктов j-го вида i-ым агентом-производителем. При этом, согласно начальным условиям, структура потребления продуктов каждого из агентов-потребителей равна структуре производства, а объёмы потребления каждого из агентов равны между собой. Само распределение производства продуктов между агентами-производителями дано в форме матрицы на рисунке 12.

Рис. 12. Матрица производства продуктов агентами-производителями

Соответственно, на рисунке 13 представлена трёхмерная балансовая матрица, элементы которой количественно описывают один цикл кругооборота «обмена (обращения)». Элементами этой балансовой матрицы являются неизвестные переменные x_ijk, величину которых нам необходимо и определить. Это позволит выявить меновые отношения, которые в совокупности отражают равновесное состояние некого условного общества, ранее взятого в качестве иллюстративного примера (см. рис.1 и рис.12).

Для удобства восприятия матрица изображена в виде трёх вертикальных фронтальных срезов. Каждый из срезов отображает частную плоскостную двухмерную матрицу «обмена» по одному из j-ых видов продуктов между i-ыми и k-ыми агентами воспроизводственного процесса действительной жизни этого общества.

Рис. 13. Трёхмерная балансовая матрица «производство – потребление»

Таким образом, для полного количественного описания одного цикла кругооборота «обмена (обращения)» необходимо определить численные значения всех 27 неизвестных переменных x_ijk. В принятых обозначениях количественные (численные) исходные данные для этой задачи даны в матричной таблице рисунка 12.

Обозначим общий суммарный объём производства j—го продукта всеми агентами производства через F_j. Тогда, с учётом данных матрицы рисунка 12, отражающих численные значения заданного количества производства продуктов j-го вида i-ым агентом-производителем как величину f_ij, получим следующие три равенства (уравнения):

F_j=1 = f₁₁ + f₂₁ + f₃₁ = 6000 +0 +0 = 6000; (1)

F_j=2 = f₁₂ + f₂₂ + f₃₂ = 0 +9000 +0 = 9000; (2)

F_j=3 = f₁₃ + f₂₃ + f₃₃ = 0 +0 +12000 = 12000. (3)

Если это выразить в неизвестных переменных x_ijk, имея ввиду, что объём производства f_ij каждого j—го продукта i-ым агентом, равен сумме объёмов, получаемых всеми агентами (и самим производителем) x_ijk, то получим следующие уравнения.

Для продукта j=1:

f₁₁ = x₁₁₁ + x₁₁₂ + x₁₁₃ = 6000, (4) *

f₂₁ = x₂₁₁ + x₂₁₂ + x₂₁₃ = 0, (5) *

f₃₁ = x₃₁₁ + x₃₁₂ + x₃₁₃ = 0. (6) *

Для продукта j=2:

f₁₂ = x₁₂₁ + x₁₂₂ + x₁₂₃ = 9000, (7) *

f₂₂ = x₂₂₁ + x₂₂₂ + x₂₂₃ = 0, (8) *

f₃₂ = x₃₂₁ + x₃₂₂ + x₃₂₃ = 0. (9) *

Для продукта j=3:

f₁₃ = x₁₃₁ + x₁₃₂ + x₁₃₃ = 12000, (10) *

f₂₃ = x₂₃₁ + x₂₃₂ + x₂₃₃ = 0, (11) *

f₃₃ = x₃₃₁ + x₃₃₂ + x₃₃₃ = 0. (12) *

Далее, исчислим структуру производства как отношение (пропорция):

F_j=1: F_j=1: F_j=1 = 6000: 9000: 12000 = 2: 3: 4. (13)

Напомним, что по условиям задачи структура потребления равна структуре производства в целом для общества и по каждому агенту-потребителю.

Следовательно, для агента-потребителя с индексом k = 1 имеем:

F_j=1: F_j=2: F_j=3 = (x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁): (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁): (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁). (14)

Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁): (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁): (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = 2: 3: 4. (15)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (15) линейные уравнения имеют вид:

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) / (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = 2/3, или иначе

3 × (x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = 2 × (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁); (16) *

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) / (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = 2/4, или иначе

2 × (x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = 4 × (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁); (17) *

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) / (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = 3/4, или иначе

4 × (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = 3 × (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁). (18) *

Аналогично, для агента-потребителя с индексом k = 2 имеем:

F_j=1: F_j=2: F_j=3 = (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂): (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂): (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂). (19)

Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):

(x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂): (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂): (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = 2: 3: 4. (20)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (20) линейные уравнения имеют вид:

(x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) / (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = 2/3, или иначе

3 × (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = 2 × (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂); (21) *

(x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) / (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = 2/4, или иначе

2 × (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = 4 × (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂); (22) *

(x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) / (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = 3/4, или иначе

4 × (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = 3 × (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂). (23) *

Аналогично, для агента-потребителя с индексом k = 3 имеем:

F_j=1: F_j=2: F_j=3 = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃): (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃): (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃). (24)

Таким образом получаем следующую пропорцию (отношение):

(x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃): (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃): (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃) = 2: 3: 4. (25)

Соответствующие полученному отношению в форме пропорции (25) линейные уравнения имеют вид:

(x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) / (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃) = 2/3, или иначе

3 × (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) = 2 × (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃); (26) *

(x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) / (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃) = 2/4, или иначе

2 × (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) = 4 × (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃); (27) *

(x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃) / (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃) = 3/4, или иначе

4 × (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃) = 3 × (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃). (28) *

Наконец, по условиям задачи, имеем одинаковые объёмы потребления каждым i-ым агентом и по каждому j-ому продукту:

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃), (29)

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃), (30)

(x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃). (31)

Эти три тройных равенства позволяют получить ещё девять линейных уравнения:

– из первого тройного равенства (29) получим по продукту j = 1 следующие три линейных уравнения:

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂), (32) *

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃), (33) *

(x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃); (34) *

– из второго тройного равенства (30) получим по продукту j = 2 следующие три линейных уравнения:

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂), (35) *

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃), (36) *

(x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃); (37) *

– из третьего тройного равенства (31) получим по продукту j = 3 следующие три линейных уравнения:

(x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂), (38) *

(x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃), (39) *

(x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃). (40) *

Известно, что для решения этой системы (линейных) уравнений в задаче с 27 неизвестными переменными необходимо 27 линейных уравнений. Напомним, что решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных (и определитель ее основной матрицы не равен нулю), то такие системы называются элементарными и имеют одно единственное решение.

Выпишем из уравнений (4) – (40) систему линейных уравнений, порядковые номера которых отмечены звёздочкой – (…) *. Общее число этих уравнений равно 27 (верхний индекс рядом со звёздочкой есть порядковый номер этого линейного уравнения в линейной системе уравнений данной задачи):

f₁₁ = x₁₁₁ + x₁₁₂ + x₁₁₃ = 6000, (4) *¹

f₂₁ = x₂₁₁ + x₂₁₂ + x₂₁₃ = 0, (5) *²

f₃₁ = x₃₁₁ + x₃₁₂ + x₃₁₃ = 0, (6) *³

f₁₂ = x₁₂₁ + x₁₂₂ + x₁₂₃ = 9000, (7) *⁴

f₂₂ = x₂₂₁ + x₂₂₂ + x₂₂₃ = 0, (8) *⁵

f₃₂ = x₃₂₁ + x₃₂₂ + x₃₂₃ = 0, (9) *⁶

f₁₃ = x₁₃₁ + x₁₃₂ + x₁₃₃ = 12000, (10) *⁷

f₂₃ = x₂₃₁ + x₂₃₂ + x₂₃₃ = 0, (11) *⁸

f₃₃ = x₃₃₁ + x₃₃₂ + x₃₃₃ = 0, (12) *⁹

3× (x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = 2× (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁), (16) *¹⁰

2 × (x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = 4 × (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁), (17) *¹¹

4 × (x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = 3 × (x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁), (18) *¹²

3 × (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = 2 × (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂), (21) *¹³

2 × (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = 4 × (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂), (22) *¹⁴

4 × (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = 3 × (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂), (23) *¹⁵

3 × (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) = 2 × (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃), (26) *¹⁶

2 × (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃) = 4 × (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃), (27) *¹⁷

4 × (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃) = 3 × (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃), (28) *¹⁸

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = (x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂), (32) *¹⁹

(x₁₁₁ + x₂₁₁ + x₃₁₁) = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃), (33) *²⁰

(x₁₁₂ + x₂₁₂ + x₃₁₂) = (x₁₁₃ + x₂₁₃ + x₃₁₃), (34) *²¹

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = (x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂), (35) *²²

(x₁₂₁ + x₂₂₁ + x₃₂₁) = (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃), (36) *²³

(x₁₂₂ + x₂₂₂ + x₃₂₂) = (x₁₂₃ + x₂₂₃ + x₃₂₃), (37) *²⁴

(x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = (x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂), (38) *²⁵

(x₁₃₁ + x₂₃₁ + x₃₃₁) = (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃), (39) *²⁶

(x₁₃₂ + x₂₃₂ + x₃₃₂) = (x₁₃₃ + x₂₃₃ + x₃₃₃). (40) *²⁷

Аналитическое решение этой линейной системы уравнений позволяет получить следующие значения неизвестных переменных x_ijk:

x₁₁₁ = 2000, x₁₁₂ = 2000, x₁₁₃ = 2000,

x₂₁₁ = 0, x₂₁₂ = 0, x₂₁₃ = 0, x₃₁₁ = 0, x₃₁₂ = 0, x₃₁₃ = 0;

x₂₂₁ = 3000, x₂₂₂ = 3000, x₂₂₃ = 3000,

x₁₂₁ = 0, x₁₂₂ = 0, x₁₂₃ = 0, x₃₂₁ = 0, x₃₂₂ = 0, x₃₂₃ = 0;

x₃₃₁ = 4000, x₃₃₂ = 4000, x₃₃₃ = 4000,

x₁₃₁ = 0, x₁₃₂ = 0, x₁₃₃ = 0, x₂₃₁ = 0, x₂₃₂ = 0, x₂₃₃ = 0.

Следует при этом заметить, в отношении самой процедуры решения, что конкретные условия данной задачи позволяют значительно сократить число уравнений в системе и упростить его. Это сокращение по существу и было сделано в начале изложения упрощённого табличного решения с «заменой индексов».

Так, например, содержащееся в настоящей задаче условие производства j-го продукта только одним i-ым агентом производства обращает целый ряд неизвестных переменных x_ijk в ноль и сокращает необходимое для решения системы число линейных уравнений с 27 до 9. При этом исходное равенство переменных нулю достаточно просто и наглядно объясняется указанными специфическими, конкретными, условиями задачи.

В частности, на схеме рисунка 14, повторяющей три j-ых среза трёхмерной балансовой матрицы «обменов» рисунка 13, обозначения неизвестных переменных, равных нулю по указанным специфическим условиям задачи, заменены их значением «0». Так, например, так как первый агент-производитель с индексом i = 1 производит только продукт с индексом j=1, то переменные x₁₃₁, x₁₃₂, x₁₃₃, x₁₂₁, x₁₂₂, x₁₂₃ равны нулю (= 0). Очевидно, что этот агент-производитель не производит продукты с индексами j=2 и j=3, а поэтому и предложить их «к обмену» не может. Аналогично обстоит дело и с агентами-производителями i=2 и i=3, производящими только, соответственно, продукты j=2 и j=3.

Соответствующая система уравнений примет вид:

f₁₁ = x₁₁₁ + x₁₁₂ + x₁₁₃ = 6000, (4) *¹

f₂₁ = 0₂₁₁ +02₁₂ +02₁₃ = 0, (5) *²

f₃₁ = 0₃₁₁ +03₁₂ +03₁₃ = 0, (6) *³

f₁₂ = 0₁₂₁ +01₂₂ +01₂₃ = 0, (7) *⁴

f₂₂ = x₂₂₁ + x₂₂₂ + x₂₂₃ = 9000, (8) *⁵

f₃₂ = 0₃₂₁ +03₂₂ +03₂₃ = 0, (9) *⁶

f₁₃ = 0₁₃₁ +01₃₂ +01₃₃ = 0, (10) *⁷

f₂₃ = 0₂₃₁ +02₃₂ +02₃₃ = 0, (11) *⁸

f₃₃ = x₃₃₁ + x₃₃₂ + x₃₃₃ = 12000, (12) *⁹

Рис. 14. Балансовая матрица, повторяющая три j-ых среза трёхмерной матрицы «обменов» рисунка 13, с обозначениями неизвестных переменных и переменных равных нулю

3 × (x₁₁₁ +02₁₁ +03₁₁) = 2 × (0₁₂₁ + x₂₂₁ +03₂₁), (16) *¹⁰

2 × (x₁₁₁ +02₁₁ +03₁₁) = 4 × (0₁₃₁ +02₃₁ + x₃₃₁), (17) *¹¹

4 × (0₁₂₁ + x₂₂₁ +03₂₁) = 3 × (0₁₃₁ +02₃₁ + x₃₃₁), (18) *¹²

3 × (x₁₁₂ +02₁₂ +03₁₂) = 2 × (0₁₂₂ + x₂₂₂ +03₂₂), (21) *¹³

2 × (x₁₁₂ +02₁₂ +03₁₂) = 4 × (0₁₃₂ +02₃₂ + x₃₃₂), (22) *¹⁴

4 × (0₁₂₂ + x₂₂₂ +03₂₂) = 3 × (0₁₃₂ +02₃₂ + x₃₃₂), (23) *¹⁵

3 × (x₁₁₃ +02₁₃ +03₁₃) = 2 × (0₁₂₃ + x₂₂₃ +03₂₃), (26) *¹⁶

2 × (x₁₁₃ +02₁₃ +03₁₃) = 4 × (0₁₃₃ +02₃₃ + x₃₃₃), (27) *¹⁷

4 × (0₁₂₃ + x₂₂₃ +03₂₃) = 3 × (0₁₃₃ +02₃₃ + x₃₃₃), (28) *¹⁸

(x₁₁₁ +02₁₁ +03₁₁) = (x₁₁₂ +02₁₂ +03₁₂), (32) *¹⁹

(x₁₁₁ +02₁₁ +03₁₁) = (x₁₁₃ +02₁₃ +03₁₃), (33) *²⁰

(x₁₁₂ +02₁₂ +03₁₂) = (x₁₁₃ +02₁₃ +03₁₃), (34) *²¹

(0₁₂₁ + x₂₂₁ +03₂₁) = (0₁₂₂ + x₂₂₂ +03₂₂), (35) *²²

(0₁₂₁ + x₂₂₁ +03₂₁) = (0₁₂₃ + x₂₂₃ +03₂₃), (36) *²³

(0₁₂₂ + x₂₂₂ +03₂₂) = (0₁₂₃ + x₂₂₃ +03₂₃), (37) *²⁴

(0₁₃₁ +02₃₁ + x₃₃₁) = (0₁₃₂ +02₃₂ + x₃₃₂), (38) *²⁵

(0₁₃₁ +02₃₁ + x₃₃₁) = (0₁₃₃ +02₃₃ + x₃₃₃), (39) *²⁶

(0₁₃₂ +02₃₂ + x₃₃₂) = (0₁₃₃ +02₃₃ + x₃₃₃). (40) *²⁷

В результате получаем, сохраняя (повторяя) при этом прежние номера соответствующих уравнений:

f₁₁ = x₁₁₁ + x₁₁₂ + x₁₁₃ = 6000, (4) *¹

f₂₂ = x₂₂₁ + x₂₂₂ + x₂₂₃ = 9000, (8) *⁵

f₃₃ = x₃₃₁ + x₃₃₂ + x₃₃₃ = 12000, (12) *⁹

3×x₁₁₁ = 2×x₂₂₁, (16) *¹⁰

2×x₁₁₁ = 4×x₃₃₁, (17) *¹¹

4× x₂₂₁ = 3×x₃₃₁, (18) *¹²

3×x₁₁₂ = 2×x₂₂₂, (21) *¹³

2×x₁₁₂ = 4×x₃₃₂, (22) *¹⁴

4×x₂₂₂ = 3×x₃₃₂, (23) *¹⁵

3×x₁₁₃ = 2×x₂₂₃, (26) *¹⁶

2×x₁₁₃ = 4×x₃₃₃, (27) *¹⁷

4×x₂₂₃ = 3×x₃₃₃, (28) *¹⁸

x₁₁₁ = x₁₁₂, (32) *¹⁹

x₁₁₁ = x₁₁₃, (33) *²⁰

x₁₁₂ = x₁₁₃, (34) *²¹

x₂₂₁ = x₂₂₂, (35) *²²

x₂₂₁ = x₂₂₃, (36) *²³

x₂₂₂ = x₂₂₃, (37) *²⁴

x₃₃₁ = x₃₃₂, (38) *²⁵

x₃₃₁ = x₃₃₃, (39) *²⁶

x₃₃₂ = x₃₃₃. (40) *²⁷

Таким образом сократилось не только число уравнений, но и число неизвестных ограничилось девятью переменными. Эти девять переменных полностью представлены в трёх уравнениях (4) *¹, (8) *⁵ и (12) *⁹. При этом остальные переменные могут быть выражены через эти девять, что видно по равенствам от (16) *¹⁰ до (40) *²⁷. В результате и число уравнений, необходимых для получения решения стало равным девяти. Приведём ниже один из вариантов этих «необходимых» уравнений и численную оценку самих переменных.

Рассмотрим равенства (4) *¹, (32) *¹⁹ и (33) *²⁰:

f₁₁ = x₁₁₁ + x₁₁₂ + x₁₁₃ = 6000, (4) *¹

x₁₁₁ = x₁₁₂, (32) *¹⁹

x₁₁₁ = x₁₁₃. (33) *²⁰

Получаем очевидное решение для следующих трёх неизвестных переменных:

x₁₁₁ = 6000/3 = 2000; x₁₁₂ = 2000; x₁₁₃ = 2000.

Далее, рассмотрим равенства (8) *⁵, (35) *²² и (37) *²⁴:

f₂₂ = x₂₂₁ + x₂₂₂ + x₂₂₃ = 9000, (8) *⁵

x₂₂₁ = x₂₂₂, (35) *²²

x₂₂₂ = x₂₂₃, (37) *²⁴

Получаем очевидное решение для других трёх неизвестных переменных:

x₂₂₂ = 9000/3 = 3000; x₂₂₁ = 3000; x₂₂₃ = 3000.

Наконец, рассмотрим равенства (12) *⁹, (39) *²⁶ и (40) *²⁷:

f₃₃ = x₃₃₁ + x₃₃₂ + x₃₃₃ = 12000, (12) *⁹

x₃₃₁ = x₃₃₃, (39) *²⁶

x₃₃₂ = x₃₃₃. (40) *²⁷

Получаем очевидное решение для последних трёх неизвестных переменных:

x₃₃₃ = 12000/3 = 4000; x₃₃₁ = 4000; x₃₃₂ = 4000

Таким образом для получения искомого решения оказалось достаточно лишь девяти вышеприведённых уравнений, а именно: (4) *¹, (32) *¹⁹, (33) *²⁰, (8) *⁵, (35) *²², (37) *²⁴, (12) *⁹, (39) *²⁶ и (40) *²⁷. Как ранее было показано прочие переменные этой системы линейных уравнений в данном численном примере равны нулю.

Матрица с численными решениями (численные значения неизвестных переменных в тысячах штук) приведена на рисунке 15. В целях наглядности численные значения неизвестных переменных дополнены (графически) тройными индексами самих переменных, то есть индексами ячеек, элементами которых являются эти переменные.

Рис. 15. Балансовая трёхмерная матрица с численными решениями условного примера «обмена» (значения неизвестных переменных даны в тысячах штук)

Из матрицы с численными решениями (см. рис.15, справа внизу – «Срез по продукту j = 1») видно, что агент с индексом i = 1, выступая в роли агента-производителя, отчуждает в пользу агента с индексом k = 3, выступающего в роли агента-потребителя, 2 тысячи (2000) штук продукта с индексом j = 1. Это отображено в ячейке матрицы с координатами: i = 1, j = 1, k = 3, в которой располагается элемент матрицы x_ijk с тройным индексом (₁₁₃). Этот тройной индекс последовательно расшифровывается следующим образом: i = 1, j = 1, k = 3.

В то же время (см. рис.15, слева вверху – «Срез по продукту j = 3») агент с индексом i = 3, выступая в роли агента-производителя, отчуждает в пользу агента с индексом k = 1, выступающего в роли агента-потребителя, 4 тысячи (4000) штук продукта с индексом j = 3. Это отображено в ячейке матрицы с координатами: i = 3, j = 3, k = 1, в которой располагается элемент матрицы x_ijk с тройным индексом (₃₃₁). Этот тройной индекс последовательно расшифровывается следующим образом: i = 3, j = 3, k = 1.

Соответствующие элементы матрицы (ячейки таблицы с индексами (₁₁₃) и (₃₃₁)) выделены светло-серой тонировкой, что наглядно отражает обмен продуктами с индексами j = 1 и j = 3 между агентами с индексами i = 1 и k = 3 (или, иначе, i = 3 и k = 1).

Аналогично, но серой тонировкой, выделены элементы матрицы с индексами (₁₁₂) и (₂₂₁), отражающие обмен продуктами с индексами j = 1 и j = 2 между агентами с индексами i=1 и k=2 (или, иначе, i=2 и k=1).

Наконец, но тёмно-серой тонировкой, выделены элементы матрицы с индексами (₂₂₃) и (₃₃₂), отражающие обмен продуктами с индексами j = 2 и j = 3 между агентами с индексами i=2 и k=3 (или, иначе, i=3 и k=2).

Одновременно, в фигурных скобках, для каждого агента-производителя даны объёмы продуктов, оставляемые для собственного потребления. Это следующие элементы: {2₁₁₁}, {3₂₂₂}, {4₃₃₃}.

Полученные результаты полностью подтверждают избранный вначале путь упрощения балансовой матрицы «обменов» в случае, когда каждый агент производит лишь один вид продукта, а потребляет для поддержания своего существования и производства, воспроизводства всей действительной жизни продукты всех производимых в обществе наименований. Поэтому вернёмся вновь к рисунку 9 с табличной формой представления балансовой матрицы, которая, как только что было показано, есть также и модифицированное представление матрицы рисунка 15 с численными решениями условного примера «обмена» объёмами продуктов, измеряемых в тысячах штук. На рисунке 16 в табличной форме, но с небольшими изменениями, повторена матрица рисунка 9.

Таким образом, из приведённого материала (см. рис. 11) и последующих расчётов следует важный вывод, – меновые отношения между производимыми продуктами повторяют (равны) количественные отношения продуктов в структуре производства. Для рассматриваемого численного примера эта структура (в порядке возрастания индекса продукта по j) выражается следующей пропорцией – 2: 3: 4.

Рис. 16. Новый вариант изображения балансовой матрицы «производство-потребление», описывающей равновесное состояние общества (при условии равенства структур производства и потребления по каждому агенту и равенства между собой самого воспроизводственного потребления этих агентов)

Из предшествующего анализа следует, что в разрешении проблемы «производство – потребление» в части «обмена (обращения)» решающее значение имеет не «стоимость», а отношения людей как агентов производства и воспроизводства действительной жизни общества. То есть, решающее и определяющее значение в «обмене и обращении» имеют отношения людей по поводу производства и потребления всей совокупности воспроизводимых объектов как продуктов. Стоимость при выявлении и оценке меновых отношений даже не упоминается. В данном примере именно люди (как условие задачи) «задают» равенство всех агентов в потреблении, равенство структур потребления агентов структуре производства, а также «задают» принципы распределения продуктов (объектов) между агентами, то есть, в итоге, и само распределение.

К сожалению, хотя К. Маркс в «Капитале» и предупреждал о опасности товарного фетишизма, но в построении своей теории сам стал жертвой этого фетишизма, ибо принял меновое отношение товаров в форме отношения их меновых стоимостей, которые предложил измерять «рабочим временем» как имманентным свойством товара. Это в значительной степени, вероятно, было обусловлено тем, что в исходном движении познания капиталистического способа производства он отталкивался от отдельного товара как «элементарной формы».

Поэтому, нами предлагается уйти в теории от марксового понимания стоимости (понятия стоимости) как «простого безразличного сгустка безразличного человеческого труда, т.-е. затраты человеческой рабочей силы». То есть уйти в теории от того «общего, что выражается в меновом отношении, или меновой стоимости, и есть его стоимость», несмотря на оговорку о «общественно необходимом рабочем времени», «общественной средней рабочей силы» [3, c. 4]. Одновременно предлагается оставить за термином «стоимость» лишь некое ценностное равенство продуктов, то есть как некое равенство в деле поддержания воспроизводственного процесса действительной жизни общества (в данный момент и в данном месте). При этом предлагается перейти к более широкому использованию понятий трудозатрат и трудоёмкости, численности работников, измеряемых соответственно рабочим временем и социальным фондом времени общества, численностью агентов производства.

Само же равенство объёмов производства и потребления, равенство их структур обусловлено, как пишет тот же К. Маркс, тем, что «акт производства, во всех своих моментах, есть также и акт потребления», что «потребление есть непосредственно также и производство» или, – «итак, производство есть непосредственно потребление, потребление есть непосредственно производство» [19].

Одним из условий, в рассмотренном примере определения меновых отношений общества, было равенство потребления между агентами производства. Это условие в быту называется «уравниловкой», против применения которой в действительной жизни многие возражают. Поэтому, для сравнения, рассмотрим пример того же общества, но уже с неравными объёмами потребления между i-ми агентами. Зададим это неравенство в потреблении некоторой, заданной определённым способом, пропорцией. Положим, что эта пропорция выражается отношением: 2: 2: 1. Соответственно получим для отношений между элементами балансовой матрицы x_ijk следующие выражения:

x_111: x₁₁₂: x₁₁₃ = 2: 2: 1,

x_221: x₂₂₂: x₂₂₃ = 2: 2: 1,

x_331: x₃₃₂: x₃₃₃ = 2: 2: 1.

Соответствующее этим пропорциям решение для трёхмерной балансовой матрицы с теми же исходными объёмами производства (см. рис.1) дано на рисунке 17.

Рис. 17. Трёхмерная балансовая матрица «производство-потребление» равновесного состояния общества при равенстве структур производства в тех же объёмах и потребления по каждому агенту, но неравных между собой объёмов воспроизводственного потребления этих агентов, которые соотносятся в пропорции 2: 2: 1

Меновые отношения для элементов x_ijk изменились и не соответствуют отношениям в структуре производства, которая осталась прежней – 2: 3: 4. Искомые меновые отношения на балансовой матрице «производство-потребление» рисунка 17 отмечены двухсторонними фигурными стрелками. Это следующие меновые отношения (&-знак менового отношения, меновой пропорции):

x_112: x₂₂₁ = 2400: 3600 = 2: 3, то есть (j=1) & (j=2) = 2: 3;

x_113: x₃₃₁ = 1200: 4800 = 1: 4, то есть (j=1) & (j=3) = 1: 4;

x_223: x₃₃₂ = 1800: 4800 = 3: 8, то есть (j=2) & (j=3) = 3: 8.

В этой связи требуют дополнительных исследований (прояснений) следующие два момента:

• первый, каким образом формируется, как и чем измеряется в «натуральном выражении» неравенство (или равенство) в объёмах потребления между k-ми агентами, задаваемое определённой пропорцией (отношением);

•  второе, как определяется и измеряется производственная позиция i-ых агентов производства в общем воспроизводственном процессе и структуре производства действительной жизни общества.